História do Ábaco

O ábaco é uma ferramenta de cálculo utilizada para efetuar operações aritméticas, frequentemente construído com uma armação em madeira, metal ou plástico com contas que deslizam sobre arames.

O utilizador move as contas manualmente ao longo de hastes ou em ranhuras.

O ábaco era utilizado séculos antes da adoção do sistema de numeração indo-arábico escrito e ainda é amplamente usado por comerciantes na China, no Japão e noutras regiões.

O ábaco é uma ferramenta de cálculo simples, económica e, no entanto, poderosa. Embora as calculadoras eletrónicas o tenham substituído por razões práticas, o uso do ábaco continua a ser ensinado em países tecnologicamente avançados, como o Japão.

Tal como acontece com jogos de tabuleiro populares como o xadrez, o shogi e o go, são organizadas competições locais, regionais e nacionais de utilização do ábaco, demonstrando que, embora tenha caído em desuso em muitas aplicações, continua a gerar entusiasmo.

Boulier ou ábaco?

Qual é exatamente a diferença entre estes dois termos?

O ábaco define-se como uma ferramenta de cálculo: pode ser gráfico (como o ábaco de Smith) ou podia ser, antes da nossa era, um esquema traçado no pó.

A definição de ábaco é mais ampla e engloba os diferentes tipos de boulier (ábaco de contas), que são por definição ábacos numa forma física específica que utilizam contas em hastes.

Origem do ábaco

Invenção do ábaco

O primeiro ábaco (ou "boulier") era muito provavelmente baseado numa pedra plana coberta de areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas na areia, depois números foram adicionados e pequenas pedras eram usadas para facilitar os cálculos.

Os babilónicos utilizaram este "ábaco de pó" desde 2400 a.C. A origem do ábaco com cordas é obscura, mas a Índia, a Mesopotâmia ou o Egito são considerados pontos de origem prováveis.

A China também desempenhou um papel essencial no desenvolvimento e evolução do ábaco.

A partir daqui, foi desenvolvida uma variedade de ábacos; os mais populares baseavam-se no sistema bi-quinário, utilizando uma combinação de duas bases (base 1 e base 5) para representar números decimais. Mas os primeiros ábacos, usados primeiro na Mesopotâmia e depois por escribas egípcios e gregos, utilizavam uma base hexadecimal.

Origem do nome

A palavra "boulier" é única no francês. Noutras línguas latinas ou com raízes latinas, utiliza-se uma palavra derivada do termo "ábaco".

A utilização da palavra "ábaco" data de antes do século XIV e é emprestada do latim para descrever um ábaco de areia.

A palavra latina vem de "abakos", a forma genitiva grega de "abax" ("tábua de cálculo"). Como "abax" também tinha o significado de "tábua polvilhada com areia ou pó, usada para desenhar figuras geométricas", alguns linguistas especulam que a palavra grega poderá ser derivada de uma raiz semítica, "ābāq" (pronunciado "a-vak"), a palavra hebraica para "pó".

Embora os detalhes da transmissão sejam obscuros, também poderá derivar da palavra fenícia "abak", que significa "areia". O plural preferido de "ábaco" é objeto de discordância, mas tanto "ábacos" como "ábaci" são utilizados.

Ábaco da Babilónia

Os babilónios podem ter utilizado o ábaco para a adição e subtração. No entanto, este dispositivo primitivo mostrou-se difícil de utilizar para cálculos mais complexos. Alguns investigadores assinalam um caractere da escrita cuneiforme babilónica que pode ter sido derivado de uma representação do ábaco.

Ábaco egípcio

A utilização do ábaco no antigo Egito é mencionada pelo historiador grego Heródoto, que escreve que a maneira como os egípcios o utilizavam era o oposto do método grego. Os arqueólogos encontraram discos antigos de diferentes tamanhos que teriam sido utilizados como contadores. No entanto, nenhuma representação mural destes instrumentos foi descoberta, o que lança dúvidas sobre a extensão da sua utilização.

Ábaco grego

Uma tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300 a.C., o que a torna a tábua de contagem mais antiga descoberta até agora. Trata-se de uma placa de mármore branco com 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e 4,5 cm de espessura, na qual se encontram 5 grupos de marcas. No centro da tábua encontra-se um conjunto de 5 linhas paralelas divididas igualmente por uma linha vertical, sobrepujada por um semicírculo na intersecção da linha horizontal mais baixa e da linha vertical única. Abaixo destas linhas existe um espaço largo dividido por uma fenda horizontal. Abaixo desta fenda encontra-se outro grupo de onze linhas paralelas, novamente divididas em duas secções por uma linha perpendicular a estas, mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona destas linhas estão marcadas com uma cruz no local onde cruzam a linha vertical.

Ábaco romano

O método de cálculo normal na Roma antiga, como na Grécia, consistia em mover contadores numa mesa lisa. Originalmente, utilizavam-se seixos, "cálculos". Mais tarde, e na Europa medieval, foram fabricados "jetões". Linhas marcadas indicavam as unidades, os cincos, as dezenas, etc., tal como no sistema de numeração romano. Este sistema de "contagem por contra" continuou no final do Império Romano e na Europa medieval, e persistiu numa utilização limitada até ao século XIX.

Para além do método mais comum que utilizava contadores livres, foram encontrados vários espécimes de um ábaco romano, mostrado aqui em reconstrução. Possui oito ranhuras longas contendo até cinco contas em cada uma e oito ranhuras mais curtas tendo cada uma uma ou nenhuma conta.

A ranhura marcada com I indica unidades, X indica dezenas, e assim sucessivamente até aos milhões. As contas nas ranhuras mais curtas indicam cinco unidades, cinco dezenas, etc., essencialmente num sistema decimal codificado bi-quinário, obviamente relacionado com os algarismos romanos. As ranhuras curtas à direita podem ter sido utilizadas para marcar onças romanas.

Ábaco indiano

Fontes do primeiro século, como o Abhidharmakosa, descrevem o conhecimento e a utilização do ábaco na Índia. Por volta do quinto século, os clérigos indianos já encontravam novas formas de registar o conteúdo do ábaco. Os textos hindus utilizavam o termo "shunya" (significa zero) para indicar a coluna vazia no ábaco.

Ábaco chinês (Suanpan)

A menção mais antiga de um suanpan encontra-se num livro do primeiro século da dinastia Han Oriental.

Normalmente, um suanpan tem cerca de 20 cm de altura e está disponível em várias larguras, dependendo do operador. Geralmente tem mais de sete hastes. Há duas contas em cada haste na parte superior e cinco contas em cada haste na parte inferior para cálculo decimal e hexadecimal. As contas são geralmente arredondadas e feitas de madeira dura. As contas são contadas movendo-as para cima ou para baixo em direção à trave. O suanpan pode ser reposto para a posição inicial instantaneamente com um rápido abanão ao longo do eixo horizontal para afastar todas as contas da trave horizontal no centro.

Os suanpan podem ser utilizados para outras funções além da contagem. Ao contrário do simples quadro de contagem utilizado nas escolas primárias, foram desenvolvidas técnicas muito eficientes para efetuar operações de multiplicação, divisão, adição, subtração, raiz quadrada e raiz cúbica a grande velocidade.

No famoso longo pergaminho Cenas à Beira-Rio durante o Festival Qingming pintado por Zhang Zeduan (1085-1145) durante a dinastia Song (960-1297), vê-se claramente um suanpan deitado ao lado de um livro de contabilidade e de receitas médicas no balcão de uma farmácia (Feibao).

A semelhança entre o ábaco romano e o ábaco chinês sugere que um pode ter inspirado o outro, uma vez que existem evidências de uma relação comercial entre o Império Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação direta pode ser demonstrada e a semelhança dos ábacos pode ser apenas uma coincidência, ambos resultando em última análise da contagem com cinco dedos por mão. Enquanto o modelo romano (tal como a maioria dos ábacos japoneses modernos) tem 4 mais 1 conta por decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2, para algoritmos aritméticos menos complexos num sistema de numeração hexadecimal. Em vez de funcionar em arames como nos modelos chinês e japonês, as contas do modelo romano funcionam em ranhuras, o que provavelmente torna os cálculos aritméticos muito mais lentos.

Outra fonte possível do suanpan são as barras de cálculo chinesas, que funcionavam com um sistema decimal mas não tinham o conceito de zero como carácter de preenchimento. O zero foi provavelmente introduzido na China durante a dinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano Índico e no Médio Oriente lhes teriam permitido contactar diretamente com a Índia e o Islão e adquirir o conceito de zero e do ponto decimal junto de mercadores e matemáticos indianos e islâmicos.

O ábaco japonês (Soroban)

O ábaco migrou da China para a Coreia por volta do ano 1400 e mais tarde para o Japão, por volta do ano 1600. A versão coreana do ábaco chama-se jupan (주판) ou supan (수판) ou jusan (주산).

No Japão, o suanpan chinês era chamado soroban (算盤, そろばん). Tal como o suanpan, o soroban ainda é utilizado no Japão hoje em dia, mesmo com a democratização das calculadoras eletrónicas.

O ábaco russo (Schoty)

O ábaco russo, o schoty (счёты), tem geralmente uma única armação inclinada, com dez contas em cada arame (exceto um arame que tem quatro contas, para as frações de quarto de rublo). Este arame encontra-se geralmente perto do utilizador. (Os modelos mais antigos têm outro arame com quatro contas para os quartos de kopeks, que foram cunhados até 1916). O ábaco russo é frequentemente utilizado na vertical, com os arames da esquerda para a direita, à maneira de um livro. Os arames são geralmente curvados de modo a abaularem para cima no centro, a fim de manter as contas presas num dos dois lados. O livro é limpo quando todas as contas são movidas para a direita. Durante a manipulação, as contas são movidas para a esquerda. Para facilitar a visualização, as duas contas do meio em cada arame (a 5ª e a 6ª conta) têm geralmente uma cor diferente das outras oito contas. Da mesma forma, a conta mais à esquerda do arame dos milhares (e do arame dos milhões, se houver) pode ter uma cor diferente.

O ábaco russo ainda é utilizado hoje em lojas e mercados por toda a antiga União Soviética, embora já não seja ensinado na maioria das escolas.

O ábaco escolar

Em todo o mundo, os ábacos foram utilizados em jardins de infância e escolas primárias como auxiliares no ensino do sistema de numeração e da aritmética. Nos países ocidentais, era comum um quadro de contas semelhante ao do ábaco russo, mas com arames retos e uma armação vertical (ver imagem).

O tipo de ábaco apresentado aqui é frequentemente usado para representar números sem utilizar o valor posicional. Cada conta e cada arame tem o mesmo valor e, usado desta forma, pode representar números até 100.

A vantagem pedagógica mais importante da utilização de um ábaco, em vez de contas soltas ou contadores, para praticar a contagem e a simples adição, é que permite ao aluno tomar consciência dos agrupamentos de 10, que são a base do nosso sistema de numeração. Embora os adultos considerem esta estrutura base de 10 como algo óbvio, na realidade pode não ser a mais fácil de aprender.